2021年河南高考理科数学真题答案解析
2021-06-082021年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学乙卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设2(z+)+3(z-)=4+6i,则z=( ).
A.1-2i
B.1+2i
C.1+i
D.1-i
2.已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则S∩T=( )
A.
B.S
C.T
D.Z
3.已知命题p:x∈R,sinx<1;命题q:x∈R,≥1,则下列命题中为真命题的是( )
A.pq
B.pq
C.pq
D.(pVq)
4.设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是( )
A.f(x-1)-1
B.f(x-1)+1
C.f(x+1)-1
D.f(x+1)+1
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为( )
A.
B.
C.
D.
6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有( )
A.60种
B.120种
C.240种
D.480种
7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数y=sin(x-)的图像,则f(x)=( )
A.sin()
B. sin()
C. sin()
D. sin()
8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数,则两数之和大于的概率为( )
A.
B.
C.
D.
9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海盗的高。如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”。则海岛的高AB=( ).
A:
B:
C:
D:
10.设a≠0,若x=a为函数的极大值点,则( ).
A:a<b
B:a>b
C:ab<a2
D:ab>a2
11.设B是椭圆C:(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足,则C的离心率的取值范围是( ).
A:
B:
C:
D:
12.设,,,则( ).
A:a<b<c
B:b<c<a
C:b<a<c
D:c<a<b
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知双曲线C:(m>0)的一条渐近线为+my=0,则C的焦距为 .
14.已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,则λ= 。
15.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,则b= .
16.以图①为正视图和俯视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为 (写出符合要求的一组答案即可).
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)
某厂研究了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:
旧设备 |
9.8 |
10.3 |
10.0 |
10.2 |
9.9 |
9.8 |
10.0 |
10.1 |
10.2 |
9.7 |
新设备 |
10.1 |
10.4 |
10.1 |
10.0 |
10.1 |
10.3 |
10.6 |
10.5 |
10.4 |
10.5 |
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和,样本方差分别记为s12和s22
(1) 求,, s12,s22;
(2) 判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果-≥,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高).
18.(12分)
如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,M为BC的中点,且PB⊥AM,
(1) 求BC;
(2) 求二面角A-PM-B的正弦值。
19.(12分)
记S n为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项和,已知=2.
(1) 证明:数列{bn}是等差数列;
(2) 求{an}的通项公式.
20.(12分)
设函数f(x)=ln(a-x),已知x=0是函数y=xf(x)的极值点。
(1) 求a;
(2) 设函数g(x)=,证明:g(x)<1.
21.(12 分)
己知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.
(1)求p;
(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求PAB的最大值.
(二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4一4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,C的圆心为C(2,1),半径为1.
(1)写出C的一个参数方程;的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)过点F(4,1)作C的两条切线, 以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条直线的极坐标方程.
23.[选修4一5:不等式选讲](10分)
已知函数f(x)=|x-a|+|x+3|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥6的解集;
(2)若f(x)≥ —a ,求a的取值范围.
2021年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学乙卷(参考答案)
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回
1-5 CCABD
6-10 CBBAD
11-12 CB
13.4
14.
15.2
16.②⑤或③④
17.解:(1)各项所求值如下所示
=(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0
=(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3
=x [(9.7-10.0)2 + 2 x (9.8-10.0)2 + (9.9-10.0)2 + 2 X (10.0-10.0)2 + (10.1-10.0)2+2 x (10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2] = 0.36,
=x [(10.0-10.3)2 +3 x (10.1-10.3)2 +(10.3-10.3)2 +2 x (10.4-10.3)2+2 x (10.5-10.3)2+ (10.6-10.3)2] = 0.4.
(2)由(1)中数据得-=0.3,2≈0.34
显然-<2,所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。
18.解:(1)因为PD⊥平面ABCD,且矩形ABCD中,AD⊥DC,所以以,,分别为x,y,z轴正方向,D为原点建立空间直角坐标系D-xyz。
设BC=t,A(t,0,0),B(t,1,0),M(,1,0),P(0,0,1),所以=(t,1,-1),=(,1,0),
因为PB⊥AM,所以•=-+1=0,所以t=,所以BC=。
(2)设平面APM的一个法向量为m=(x,y,z),由于=(-,0,1),则
令x=,得m=(,1,2)。
设平面PMB的一个法向量为n=(xt,yt,zt),则
令=1,得n=(0,1,1).
所以cos(m,n)===,所以二面角A-PM-B的正弦值为.
19.(1)由已知+=2,则=Sn(n≥2)
+=22bn-1+2=2bnbn-bn-1=(n≥2),b1=
故{bn}是以为首项,为公差的等差数列。
(2)由(1)知bn=+(n-1)=,则+=2Sn=
n=1时,a1=S1=
n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=
故an=
20.(1)[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)
当x=0时,[xf(x)]′=f(0)=lna=0,所以a=1
(2)由f(x)=ln(1-x),得x<1
当0<x<1时,f(x)=ln(1-x)<0,xf(x)<0;当x<0时,f(x)=ln(1-x)>0,xf(x)<0
故即证x+f(x)>xf(x),x+ln(1-x)-xln(1-x)>0
令1-x=t(t>0且t≠1),x=1-t,即证1-t+lnt-(1-t)lnt>0
令f(t)=1-t+lnt-(1-t)lnt,则
f′(t)=-1--[(-1)lnt+]=-1++lnt-=lnt
所以f(t)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故f(t)>f(1)=0,得证。
21.解:(1)焦点到的最短距离为,所以p=2.
(2)抛物线,设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则
,
,且.
,都过点P(x0,y0),则故,即.
联立,得,.
所以=,,所以
===.
而.故当y0=-5时,达到最大,最大值为.
22. (1)因为C的圆心为(2,1),半径为1.故C的参数方程为(为参数).
(2)设切线y=k(x-4)+1,即kx-y-4k+1=0.故
=1
即|2k|=,4=,解得k=±.故直线方程为y=(x-4)+1, y=(x-4)+1
故两条切线的极坐标方程为sin=cos-+1或sin=cos++1.
23.解:(l)a = 1时,f(x) = |x-1|+|x+3|, 即求|x-1|+|x-3|≥ 6 的解集.
当x≥1时,2x十2 ≥6,得x≥ 2;
当-3 当x≤-3时-2x-2≥6.得x≤-4, 综上,解集为(-∞,-4]U[2, -∞). (2) f(x)最小值>-a,而由绝对值的几何意义,即求x到a和-3距离的最小值. 当x在a和-3之间时最小,此时f(x)最小值为|a+3|,即|a+3|>-a. A≥-3时,2a+3>0,得a>-;a<-3 时,-a-3>-a,此时a不存在. 综上,a>-.