2021年甘肃高考理科数学答案解析

1-5 CCABD

6-10 CBBAD

11-12 CB

13.4

14.

15.2

16.②⑤或③④

17.解：（1）各项所求值如下所示

=(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0

=(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3

=x [(9.7-10.0)2 + 2 x (9.8-10.0)2 + (9.9-10.0)2 + 2 X (10.0-10.0)2 + (10.1-10.0)2+2 x (10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2] = 0.36,

=x [(10.0-10.3)2 +3 x (10.1-10.3)2 +(10.3-10.3)2 +2 x (10.4-10.3)2+2 x (10.5-10.3)2+ (10.6-10.3)2] = 0.4.

(2)由(1)中数据得-=0.3,2≈0.34

显然-＜2，所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。

18.解：（1）因为PD⊥平面ABCD，且矩形ABCD中，AD⊥DC，所以以,,分别为x，y，z轴正方向，D为原点建立空间直角坐标系D-xyz。

设BC=t，A（t，0，0），B（t，1，0），M（，1，0），P(0,0,1),所以=（t，1，-1），=（，1，0），

因为PB⊥AM，所以•=-+1=0，所以t=，所以BC=。

（2）设平面APM的一个法向量为m=（x，y，z），由于=（-，0，1），则

令x=，得m=（，1，2）。

设平面PMB的一个法向量为n=（xt，yt，zt），则

令=1，得n=(0,1,1).

所以cos（m，n）===,所以二面角A-PM-B的正弦值为.

19.（1）由已知+=2,则=Sn(n≥2)

+=22bn-1+2=2bnbn-bn-1=(n≥2),b1=

故｛bn｝是以为首项，为公差的等差数列。

（2）由（1）知bn=+（n-1）=,则+=2Sn=

n=1时，a1=S1=

n≥2时，an=Sn-Sn-1=-=

故an=

20.（1）[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)

当x=0时，[xf(x)]′=f(0)=lna=0,所以a=1

（2）由f(x)=ln(1-x),得x＜1

当0＜x＜1时，f(x)=ln(1-x)＜0，xf(x)＜0；当x＜0时，f(x)=ln(1-x)＞0，xf(x)＜0

故即证x+f(x)＞xf(x),x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0

令1-x=t(t＞0且t≠1)，x=1-t,即证1-t+lnt-(1-t)lnt＞0

令f(t)=1-t+lnt-(1-t)lnt,则

f′(t)=-1--[(-1)lnt+]=-1++lnt-=lnt

所以f(t)在（0,1）上单调递减，在（1,+∞）上单调递增，故f(t)＞f（1）=0,得证。

21.解：（1）焦点到的最短距离为，所以p=2.

（2）抛物线，设A(x1,y1）,B(x2,y2),P(x0,y0)，则

,

,且.

,都过点P(x0,y0）,则故，即.

联立，得，.

所以=，，所以

===.

而.故当y0=-5时，达到最大，最大值为.

22. (1)因为C的圆心为(2,1)，半径为1.故C的参数方程为（为参数).

(2)设切线y=k（x-4)+1,即kx-y-4k+1=0.故

=1

即|2k|=,4=，解得k=±.故直线方程为y=(x-4)+1, y=(x-4)+1

故两条切线的极坐标方程为sin=cos-+1或sin=cos++1.

23.解：(l)a = 1时，f(x) = |x-1|+|x+3|， 即求|x-1|+|x-3|≥ 6 的解集.

当x≥1时，2x十2 ≥6,得x≥ 2;

当-3

当x≤-3时-2x-2≥6.得x≤-4，

综上，解集为(-∞,-4]U[2, -∞).

(2) f(x)最小值>-a,而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.

当x在a和-3之间时最小，此时f(x)最小值为|a+3|,即|a+3|＞-a.

A≥-3时,2a+3>0，得a>-；a<-3 时,-a-3>-a,此时a不存在.

综上，a>-.