2021年全国甲卷高考文科数学试题【word精校版】
2021-06-11绝密★启用前
202l年普通高等学校招生全国统一考试(甲卷)
文科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,则
A.B.C.D.
2.为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:
根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
3.已知,则
A.B.C.D.
4.下列函数中是增函数的为
A.B.C.D.
5.点到双曲线的一条渐近线的距离为
A.B.C.D.
6.青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为()
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
7.在一个正方体中,过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥后,所得多面体的三视图中,正视图如右图所示,则相应的侧视图是
A.B.C.D.
8.在中,已知,,,则
A.1 B.C.D.3
9.记为等比数列的前n项和.若,,则
A.7 B.8 C.9 D.10
10.将3个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为
A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8
11.若,则
A.B.C.D.
12.设是定义域为R的奇函数,且.若,则
A.B.C.D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若向量满足,则_________.
14.已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为,则该圆锥的侧面积为________.
15.已知函数的部分图像如图所示,则_______________.
16.已知为椭圆C:的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且,则四边形的面积为________.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.(12分)
甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:
一级品 |
二级品 |
合计 |
|
甲机床 |
150 |
50 |
200 |
乙机床 |
120 |
80 |
200 |
合计 |
270 |
130 |
400 |
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附:,
0.050 |
0.010 |
0.001 |
|
k |
3.841 |
6.635 |
10.828 |
18.(12分)
记为数列的前n项和,已知,且数列是等差数列,证明:是等差数列.
19.(12分)
已知直三棱柱中,侧面为正方形,,E,F分别为和的中点,.
(1)求三棱锥的体积;
(2)已知D为棱上的点,证明:.
20.(12分)
设函数,其中.
(1)讨论的单调性;
(2)若的图像与x轴没有公共点,求a的取值范围.
21.(12分)
抛物线C的顶点为坐标原点O.焦点在x轴上,直线l:交C于P,Q两点,且.已知点,且与l相切.
(1)求C,的方程;
(2)设是C上的三个点,直线,均与相切.判断直线与的位置关系,并说明理由.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)设点A的直角坐标为,M为C上的动点,点P满足,写出的轨迹的参数方程,并判断C与是否有公共点.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知函数.
(1)画出和的图像;
(2)若,求a的取值范围.
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