矩阵正定的充分必要条件

2022-01-31

矩阵正定是针对对称矩阵而言的，在数一、数二、数三的考试中，主要是实对称矩阵。通过检查特征值是否大于零来识别正定矩阵；在我有限的对于数学了解中，线性代数算得上是数学中优美程度排在前几名分支了吧；任意一个矩阵均可以表示成一个列满秩矩阵与行满秩矩阵的乘积。

1、求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。

2、计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。

正定矩阵有以下性质

1、正定矩阵的行列式恒为正；

2、实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；

3、若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；

4、两个正定矩阵的和是正定矩阵；

5、正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。