圆的标准方程和一般方程

一、圆的标准方程和一般方程

1、圆的标准方程

圆心为$A(a,b)$，半径为$r$的圆的方程$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$叫做圆的标准方程。

特别地，圆心在坐标原点，半径为$r$的圆的方程为$x^2+y^2=r^2$。

2、圆的一般方程

方程$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$可化为$\left(x+\frac{D}{2}\right)^2$+$\left( y+\frac{E}{2} \right)^2$=$\frac{D^2+E^2-4F}{4}$①。

（1）当$D^2+E^2-4F>0$时，方程①表示以$\left( -\frac{D}{2},-\frac{E}{2} \right)$为圆心，$\frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F}$为半径的圆。

（2）当$D^2+E^2-4F=0$时，方程①只有实数解$x=-\frac{D}{2}$，$y=-\frac{E}{2}$,它表示一个点$\left( -\frac{D}{2},-\frac{E}{2} \right)$.

（3）当$D^2+E^2-4F<0$时，方程①没有实数解，它不表示任何图形。

因此，当$D^2+E^2-4F>0$时，方程$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程。

3、圆的四种方程

（1）标准方程：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，圆心为（$a$，$b$），半径为$r$.

（2）一般方程：$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，其中$D^2+E^2-4F>0$.

（3）参数方程：参数方程：$\begin{cases}x=a+r\cos θ，\\y=b+r\sin θ。\end{cases}$

（4）直径式方程：$(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)$=0。其中$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$为直径的两端点。

二、圆的标准方程的相关例题

若圆$C$的方程为$(x-3)^2+(y-2)^2$=4。直线$l$的方程为$x-y+1=0$,则圆$C$关于直线$l$对称的圆的方程为____

A．$(x+1)^2 +(y+4)^2=4$

B．$(x-1)^2+(y-4)^2=4$

C．$(x-4)^2+(y-1)^2=4$

D．$(x+4)^2+(y+1)^2=4$

答案：B

解析：圆$(x-3)^2+(y-2)^2$=4的圆心为(3，2) , 半径为2，设所求圆的圆心为$(a，b)$，因此由对称性可知其满足$\begin{cases}\frac{b-2}{a-3}=-1，\\frac{a+3}{2}-\frac{b+2}{2}+1=0，\end{cases}$解方程组得$\begin{cases}a=1，\\b=4，\end{cases}$所以所求圆的方程为$(x-1)^2 +(y-4)^2=4$，故选B。